Hexen1x1
Kap.2)   DAS HEXEN-EINMAL-EINS AUS GOETHES "FAUST"
               in 1128-Bit-RSA-Verschlüsselung

Index

     2.1   Goethes Hexen-Einmal-Eins als magisches Quadrat
     2.2   Goethes Hexen-Einmal-Eins in 1128-Bit-RSA-Verschlüsselung

  Goethe hat sich selbst nicht nur als Dichter, sondern auch als Naturwissenschaftler verstanden. Er arbeitete u.a. auf dem Gebiet der Physik, sein Werk "Zur Farbenlehre" findet im Internet unter www.farbenlehre.com noch heute Zuspruch, und auf dem Gebiet der Mathematik, wo er sich u.a. mit magischen Quadraten beschäftigte.

     2.1   Goethes Hexen-Einmal-Eins als magisches Quadrat

Figur-Index

   Fig.2: Goethes Hexen-Einmal-Eins als magisches Quadrat

  Nur wenige "Faust"-Kenner wissen, daß Goethe in seinem "HexenEinmal-Eins" (Faust, Der Tragödie erster Teil, Hexenküche), ein magisches 3x3 Quadrat verbirgt, das vermutlich von ihm selbst stammt:
    Du mußt verstehn!              (Du mußt numerieren #1..#9!)
    Aus Eins mach' Zehn,           (Aus #1 mach'    die Zahl 10,)
    Und Zwei laß gehn,             (Und #2 laß gehn als Zahl  2,)
    Und Drei mach' gleich,         (Und #3 mach' gleich Zahl  3,)
    So bist Du reich.              (So kennst Du die Summe 15.)

    Verlier die Vier!              (Die Leerzahl 0 setz auf #4!)
    Aus Fünf und Sechs,            (Aus #5 und #6,)
    So sagt die Hex',      
    Mach' Sieben und Acht,         (Mach' die Zahlen 7 und 8,)
    So ist's vollbracht:           (So ist die letzte Zeile 5,6,4)

    Und Neun ist Eins,             (Und 3x3=9 ist ein Quadrat,)
    Und Zehn ist keins.            (Und 10 ist keins.)
    Das ist das Hexen=Einmal=Eins!
  In der folgenden Figur 2 wird Goethes Hexen-Einmal-Eins als magisches Quadrat nach Anweisung der Hexe aufgebaut. Die letzte Zeile kann bei bekannter Spaltensumme 15 aus den beiden ersten Zeilen berechnet werden.
   Fig.2
Fig.2.634x529.gif: Goethe's Hexen1x1,magisches Quadrat
Fig.2: Goethes Hexen-Einmal-Eins als magisches Quadrat


  Figur 2 zeigt Goethes Hexen-Einmal-Eins als magisches 3x3 Quadrat mit nur einem kleinen Schönheitsfehler: Die Summe der Hauptdiagonale ist ungleich 15, da hat die Hexe sich wohl verzählt!

  Andererseits deutet die Hexe im Versteil "Und Neun ist Eins" an, daß sie durchaus "magische Kenntnisse" besitzt, denn das Quadrat
                              1  2  3
                              4  5  6
                              7  8  9
ist bereits ein unvollständiges magisches Quadrat mit vier richtigen Summen=15 durch die mittlere 5. Aus diesem Quadrat kann durch Summen-erhaltende Umformungen ein vollständiges magisches Quadrat gebildet werden, z.B. nach dem ursprünglich aus Siam stammenden Verfahren von de la Loubère (1687), das Goethe bekannt gewesen sein dürfte.

  Scheinbar weiß die Hexe nicht, daß ein magisches nxn Quadrat keine 0 (wie hier) und auch keine Zahl größer als n (hier 10) enthalten darf. Aber Goethe führt uns wohl "an der Nas herum" (Faust Monolog). Sagt nicht die Hexe selbst am Schluß "und 10 ist keins"?


     2.2   Goethes Hexen-Einmal-Eins in 1128-Bit-RSA-Verschlüsselung

Applet-Index

   Apl_2: RSA-Verfahren in Java, n=(2^607-1)*(2^521-1) 

  Das folgende Applet 2 zeigt die Verschlüsselung (Entschlüsselung wird aus Platzmangel nicht angezeigt) des Klartextes (Plaintext) "Aus 1 mach' 10 und 2 lass gehn und 3 mach' gleich. Verlier die 4! Aus 5 und 6 mach' 7 und 8, so ist's vollbracht!".
   Apl_2 (Quelltext: www.harry-feldmann.net/Hexen1x1/source/Apl_2.java.html, ... /Apl_2.html.html)

Apl_2: RSA-Verfahren in Java, n=(2^607-1)*(2^521-1)


  Voreingestellt wurde als öffentlicher Code der 128-Zeichen-ASCII-Code und als öffentliches Füllzeichen (fill) das Zwischenraumzeichen ' ' auf ASCII-Index 32. Voreingestellt wurden auch die geheimen Primzahlen p=2^607-1, q=2^521-1 und der Chiffrier-Schlüssel (encoding key) e=2^127-1 relativ prim (teilerfremd) zu (p-1)*(q-1).

  Die Blockbildung 127..127<n ergibt eine Blocklänge 339 (113 Indizes mit je 3 Ziffern) für M, die kleiner ist als die Blocklänge 340 (Anzahl der Ziffern von n-1) für C. Bei den kurzen Beispielen in Kapitel 1 waren die Längen der Blöcke von M und C noch gleich. Außerdem paßt bei diesem Beispiel der Klartext "zufällig" genau in einen Block M. Zusätzliche Füllzeichen am Ende des Blocks sind nicht erforderlich.

  Die Applet-Durchrechnung dieses Beispiels, einer etwas gekürzten Fassung des Goetheschen "Hexen-Einmal-Eins" (2.1), wird zur besseren Lesbarkeit noch einmal als Tabelle wiedergegeben:

Hexen1x1 in 1128-Bit-RSA-Verschlüsselung         
code, public alphabet=ASCII, index 0..127
p, secret prime      :2^607-1 
q, secret prime      :2^521-1 
e, public encrypt.key:2^127-1 
P  laintext          :"Aus 1 mach' 10 und 2 lass gehn "+
                      "und 3 mach' gleich. Verlier die 4! Aus 5 "+
                      "und 6 mach' 7 und 8, so ist's vollbracht!"
n, public modul      =(2^607-1)*(2^521-1) (340 Dig, 1128 Bit)
E  ncoding           =065,117,115,032,049,032,109,097,099,104,039,
                      032,049,048,032,117,110,100,032,050,032,108,
                      097,115,115,032,103,101,104,110,032,117,110,
                      100,032,051,032,109,097,099,104,039,032,103,
                      108,101,105,099,104,046,032,086,101,114,108,
                      105,101,114,032,100,105,101,032,052,033,032,
                      065,117,115,032,053,032,117,110,100,032,054,
                      032,109,097,099,104,039,032,055,032,117,110,
                      100,032,056,044,032,115,111,032,105,115,116,
                      039,115,032,118,111,108,108,098,114,097,099,
                      104,116,033,
M  essage            =065117115032049032109097099104039032049
                      048032117110100032050032108097115115032
                      103101104110032117110100032051032109097
                      099104039032103108101105099104046032086
                      101114108105101114032100105101032052033
                      032065117115032053032117110100032054032
                      109097099104039032055032117110100032056
                      044032115111032105115116039115032118111
                      108108098114097099104116033,
C  iphertext         =348526570352183081714274141772273518637
                      121527595642978612903831476856968147652
                      383518550557621496959793385980267317574
                      294544368119583223356013303502186786373
                      663051870768789144576324647047892919493
                      782355048701898685794369544478859376057
                      764186806282892169875869935819348505303
                      532812225835057303006639783483543102828
                      6837076703531334542807872956,
d, secret decrypt.key=916851268279511998413804896148159298540
                      743214785752501112181295726091958186468
                      676044565706191021765009092707208105891
                      293588874498435575126550783352287561280
                      235366990783824925221617467818240562033
                      670954869608957366732036421775633282301
                      475001649316106773797608719262951280407
                      755597092502777893358901038674232988681
                      527306269039325968045762263
Hexen1x1 
Kap.3